ความสัมพันธ์

ความสัมพันธ์ (relation) คือเซตของคู่อันดับซึ่งเป็นสับเซตของผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และ เซต B นิยมเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ R (Relation R is a subset of the ordered pairs in AXB) ซึ่งในความหมายข้างต้นจะประกอบด้วย 2 ส่วน คือ

  • คู่อันดับ
  • ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B (AXB)

คู่อันดับ (ordered pairs)

การจับคู่ของสองชิ้นทางคณิตศาสตร์ เช่น คู่อันดับ a, b เขียนแทน ด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B (Cartesian product)

คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ที่ เป็นไปได้ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย AXB ซึ่งเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขได้เป็น AXB = {(a, b) | a ϵ A และ b ϵ B}

คุณสมบัติของความสัมพันธ์ (Properties of a Relation)

กำหนดให้ R เป็นความสัมพันธ์บนเซต S (นั้นคือ ความสัมพันธ์จากเซต S ไป S)

  • R มีคุณสมบัติสะท้อน (reflexive) ก็ต่อเมื่อ ∀ x ϵ S, (x R x)
  • R มีคุณสมบัติสมมาตร (symmetric) ก็ต่อเมื่อ ∀x,y ϵ S, ถ้า (x R y) แล้ว (y R x)
  • R มีคุณสมบัติถ่ายทอด (transitive) ก็ต่อเมื่อ ∀x,y,z ϵ S, ถ้า (x R y) และ (y R z) แล้ว (x R z)